16 номер. Рекурсия
Отношение значений рекурсивной функции
(Д. Бахтиев) Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:
F(n) = n, при n ≥ 2010;
F(n) = F(n + 3) + F(n + 2) + F(n + 1), если n < 2010
Чему равно значения выражения (F(2000) - 2 · (F(2002) + F(2003))) / F(2004)?
Подсказка
Начните с базового случая и направления изменения аргумента. Для выражения из нескольких значений сначала проверьте, можно ли сократить общую часть.
Решение
Искомая величина: Чему равно значения выражения (F(2000) - 2 · (F(2002) + F(2003))) / F(2004)?
Выпишите базовые значения и границы каждой ветви. Для конкретного аргумента сначала выберите применимое условие, затем подставляйте рекуррентную формулу этой ветви; базовый случай имеет приоритет перед дальнейшим раскрытием.
Рекурсивные переходы увеличивают аргумент. Начните с известных значений у верхней границы и двигайтесь к меньшим аргументам: при вычислении очередного значения все используемые более высокие индексы уже должны быть готовы.
Перед вычислением больших значений раскройте рекуррентные формулы в числителе до аргумента знаменателя. Если возникает общий ненулевой множитель, вынесите и сократите его. Сокращать можно общий множитель всего числителя, а не отдельное слагаемое суммы.
После получения нужных значений подставьте их именно в выражение из вопроса, сохранив коэффициенты, знаки и скобки. Значение одной функции может быть лишь промежуточной величиной, а не окончательным ответом.
Ответ: 1.