16 номер. Рекурсия
Вычисление рекурсивной функции
Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:
F(n) = n + 1 при n<3
F(n) = F(n-2) + n - 2 если n ≥ 3 и чётно
F(n) = F(n+2) + n + 2 если n ≥ 3 и нечётно.
Сколько существует чисел n, для которых значение F(n) определено и будет пятизначным?
Подсказка
Начните с базового случая и направления изменения аргумента. Для выражения из нескольких значений сначала проверьте, можно ли сократить общую часть.
Решение
Искомая величина: Сколько существует чисел n, для которых значение F(n) определено и будет пятизначным?
Выпишите базовые значения и границы каждой ветви. Для конкретного аргумента сначала выберите применимое условие, затем подставляйте рекуррентную формулу этой ветви; базовый случай имеет приоритет перед дальнейшим раскрытием.
В формулах встречаются переходы в разные стороны. Для каждой функции определите свою базовую область и направление зависимостей. Нельзя заполнять все таблицы одним циклом по возрастанию без проверки, что нужные значения уже известны.
Чётность проверяйте для текущего аргумента каждого вызова. Переход на n−1 меняет чётность, переход на n−2 сохраняет её; нельзя продолжать раскрытие одной и той же ветвью только потому, что исходный аргумент был чётным.
После вычисления функции проверяйте требуемое свойство отдельно для каждого допустимого аргумента. Если диапазон слишком велик для перебора, используйте структуру рекурсии и подсчёт состояний; простой подсчёт различных значений функции не равен числу подходящих аргументов.
Ответ: 216.