16 номер. Рекурсия
Вычисление рекурсивной функции
(А.Богданов) Обозначим операцию целочисленного деления с округлением вниз как //, а нахождения остатка деления через \%. Например, 8 // 3 = 2 и 7 \% 3 = 1. Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – целое число, задан следующими соотношениями:
F(n) = n, если n < 2
F(n) = F(n // 2) + F(n \% 2), если n ≥ 2
Определите количество натуральных чисел n < 2^{30}, для которых F(n) равно 27
Подсказка
Начните с базового случая и направления изменения аргумента. Для выражения из нескольких значений сначала проверьте, можно ли сократить общую часть.
Решение
Искомая величина: Определите количество натуральных чисел n < 2^{30}, для которых F(n) равно 27
Выпишите базовые значения и границы каждой ветви. Для конкретного аргумента сначала выберите применимое условие, затем подставляйте рекуррентную формулу этой ветви; базовый случай имеет приоритет перед дальнейшим раскрытием.
Если переходы используют меньшие аргументы, заполняйте значения по возрастанию от базовой области. При повторных обращениях используйте сохранённый результат: это позволяет избежать многократного обхода одних и тех же ветвей рекурсии.
После вычисления функции проверяйте требуемое свойство отдельно для каждого допустимого аргумента. Если диапазон слишком велик для перебора, используйте структуру рекурсии и подсчёт состояний; простой подсчёт различных значений функции не равен числу подходящих аргументов.
Ответ: 4060.