16 номер. Рекурсия
Вычисление рекурсивной функции
(А.Богданов) Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:
F(n)=0, если n<10
F(n)=F(n//10)+(n//10\% 10)-(n\% 10) , если n≥ 10
Укажите количество таких чисел n не превышающих 10^{10}, для которых F(n) равно 9
a//b – обозначает деление числа a нацело на число b.
a\% b – обозначает нахождение остатка при делении числа a на число b.
Подсказка
Начните с базового случая и направления изменения аргумента. Для выражения из нескольких значений сначала проверьте, можно ли сократить общую часть.
Решение
Искомая величина: Укажите количество таких чисел n не превышающих 10^{10}, для которых F(n) равно 9
Выпишите базовые значения и границы каждой ветви. Для конкретного аргумента сначала выберите применимое условие, затем подставляйте рекуррентную формулу этой ветви; базовый случай имеет приоритет перед дальнейшим раскрытием.
Если переходы используют меньшие аргументы, заполняйте значения по возрастанию от базовой области. При повторных обращениях используйте сохранённый результат: это позволяет избежать многократного обхода одних и тех же ветвей рекурсии.
После вычисления функции проверяйте требуемое свойство отдельно для каждого допустимого аргумента. Если диапазон слишком велик для перебора, используйте структуру рекурсии и подсчёт состояний; простой подсчёт различных значений функции не равен числу подходящих аргументов.
Ответ: 111111111.