16 номер. Рекурсия
Вычисление рекурсивной функции
Алгоритм вычисления функции F(n) задан следующими соотношениями:
F(n)=n^2+5n+4 при n>30
F(n) = F(n+1) + 3 · F(n+4) при чётных n ≤ 30
F(n) = 2 · F(n+2) + F(n+5) при нечётных n ≤ 30
Определите количество натуральных значений n из отрезка [1; 1 000], для которых сумма цифр значения F(n) равна 27.
Подсказка
Начните с базового случая и направления изменения аргумента. Для выражения из нескольких значений сначала проверьте, можно ли сократить общую часть.
Решение
Искомая величина: Определите количество натуральных значений n из отрезка [1; 1 000], для которых сумма цифр значения F(n) равна 27.
Выпишите базовые значения и границы каждой ветви. Для конкретного аргумента сначала выберите применимое условие, затем подставляйте рекуррентную формулу этой ветви; базовый случай имеет приоритет перед дальнейшим раскрытием.
Рекурсивные переходы увеличивают аргумент. Начните с известных значений у верхней границы и двигайтесь к меньшим аргументам: при вычислении очередного значения все используемые более высокие индексы уже должны быть готовы.
Чётность проверяйте для текущего аргумента каждого вызова. Переход на n−1 меняет чётность, переход на n−2 сохраняет её; нельзя продолжать раскрытие одной и той же ветвью только потому, что исходный аргумент был чётным.
После вычисления функции проверяйте требуемое свойство отдельно для каждого допустимого аргумента. Если диапазон слишком велик для перебора, используйте структуру рекурсии и подсчёт состояний; простой подсчёт различных значений функции не равен числу подходящих аргументов.
Ответ: 137.