16 номер. Рекурсия
Вычисление рекурсивной функции
(М. Попков) Алгоритм вычисления функций F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:
F(n)=n× 4 при n<3;
F(n)=n× 2, когда n≥ 3 и нечетно;
F(n)=5× F(n-2)+n^{2}, когда n≥ 3 и четно.
Сколько существует чисел n, для которых значение F(n) будет трехзначным и четным?
Подсказка
Начните с базового случая и направления изменения аргумента. Для выражения из нескольких значений сначала проверьте, можно ли сократить общую часть.
Решение
Искомая величина: Сколько существует чисел n, для которых значение F(n) будет трехзначным и четным?
Выпишите базовые значения и границы каждой ветви. Для конкретного аргумента сначала выберите применимое условие, затем подставляйте рекуррентную формулу этой ветви; базовый случай имеет приоритет перед дальнейшим раскрытием.
Если переходы используют меньшие аргументы, заполняйте значения по возрастанию от базовой области. При повторных обращениях используйте сохранённый результат: это позволяет избежать многократного обхода одних и тех же ветвей рекурсии.
Чётность проверяйте для текущего аргумента каждого вызова. Переход на n−1 меняет чётность, переход на n−2 сохраняет её; нельзя продолжать раскрытие одной и той же ветвью только потому, что исходный аргумент был чётным.
После вычисления функции проверяйте требуемое свойство отдельно для каждого допустимого аргумента. Если диапазон слишком велик для перебора, используйте структуру рекурсии и подсчёт состояний; простой подсчёт различных значений функции не равен числу подходящих аргументов.
Ответ: 226.