5 номер. Преобразование записей чисел
Преобразование двоичной записи
(М. Попков) В волшебном королевстве Снежной Королевы живёт мудрый маг, который умеет преобразовывать числа с помощью особого заклинания. Это заклинание позволяет получать новые числа из заданного натурального N, используя магию двоичных записей.
Маг решил провести эксперимент и выяснить, какое максимальное число R можно получить, если на вход его заклинания подаётся натуральное число N, не превышающее 25.
Вот как работает заклинание:
1. Двоичная запись: Сначала маг переводит число N в его двоичную запись.
2. Обработка записи: Затем он применяет следующее правило:
• Если число N нечётное, то к его двоичной записи слева добавляется ‘10’, а справа ‘1’
• Если число N чётное, то к его двоичной записи справа добавляется "0111", а слева добавляется "10".
Полученная таким образом двоичная запись преобразуется обратно в десятичную систему, и это число становится искомым числом R.
Например, для N = 4 (в двоичной записи 100) результатом будет R = 327, а для N = 5 (в двоичной записи 101) результатом будет R = 43.
Ваша задача — помочь мудрому магу определить максимальное значение числа R, которое он может получить, если на вход его заклинания подаётся натуральное число N, где 1 ≤ N ≤ 25. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Подсказка
Сначала выполните все шаги для одного N, сохраняя строку после каждого изменения. Затем уточните, что требуется выбрать: N, R или количество значений.
Решение
Искомая величина: Маг решил провести эксперимент и выяснить, какое максимальное число R можно получить, если на вход его заклинания подаётся натуральное число N, не превышающее 25.
Разделите решение на два действия: для одного входного числа точно воспроизведите алгоритм, затем отберите результаты по условию задачи. Храните запись числа строкой; основание используемой системы счисления — 2.
Дописывание справа реализуется как s + suffix, слева — как prefix + s. Добавляйте ровно указанную последовательность символов, включая нули. Числовое сложение вместо соединения строк здесь меняет алгоритм.
После завершения всех преобразований получите числовой результат: R = int(s, 2). Ограничения на величину R проверяйте численно: лексикографический порядок строк не совпадает с порядком чисел.
Нужно максимизировать выходное R. Сравните результаты всех допустимых входов: выбирать последний подходящий вход вместо наибольшего результата можно только после доказательства монотонности преобразования.
Строгое «больше» означает >, а «не меньше» — >=; аналогично различайте верхние границы. Диапазон перебора определяйте из ограничений и изменения длины записи, а не произвольной константой. Пример из условия помогает проверить отдельный проход алгоритма.
Ответ: 1415.