5 номер. Преобразование записей чисел
Двоичная запись и сумма цифр
(А.Богданов) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.
1. Строится двоичная запись числа N.
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
а) если число четное, то к двоичному представлению слева дописывается двоичная запись суммы цифр числа в двоичной записи N, а справа бит четности
б) если число нечетное, то к двоичному представлению справа дописывается 0 и затем двоичная запись суммы цифр числа в двоичной записи N
3. Полученная двоичная запись является результатом, который переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Бит четности это остаток от деления на 2 суммы цифр двоичной записи числа.
Например, для исходного числа 12 = 1100₂ результатом является число 1011000₂ = 88, а для исходного числа 11 = 1011₂ результатом является число 1011011₂ = 91. Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается максимальное число R, меньшее 256.
Подсказка
Сначала выполните все шаги для одного N, сохраняя строку после каждого изменения. Затем уточните, что требуется выбрать: N, R или количество значений.
Решение
Искомая величина: Например, для исходного числа 12 = 1100₂ результатом является число 1011000₂ = 88, а для исходного числа 11 = 1011₂ результатом является число 1011011₂ = 91. Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается максимальное число R, меньшее 256.
Разделите решение на два действия: для одного входного числа точно воспроизведите алгоритм, затем отберите результаты по условию задачи. Храните запись числа строкой; основание используемой системы счисления — 2.
В двоичной записи сумма цифр равна числу единиц: её удобно получить как s.count("1"). Остаток этой суммы по модулю 2 — бит чётности; он не равен остатку исходного числа по модулю 2. Чётность самого N определяется последним битом.
Дописывание справа реализуется как s + suffix, слева — как prefix + s. Добавляйте ровно указанную последовательность символов, включая нули. Числовое сложение вместо соединения строк здесь меняет алгоритм.
После завершения всех преобразований получите числовой результат: R = int(s, 2). Ограничения на величину R проверяйте численно: лексикографический порядок строк не совпадает с порядком чисел.
Нужно максимизировать выходное R. Сравните результаты всех допустимых входов: выбирать последний подходящий вход вместо наибольшего результата можно только после доказательства монотонности преобразования.
Строгое «больше» означает >, а «не меньше» — >=; аналогично различайте верхние границы. Диапазон перебора определяйте из ограничений и изменения длины записи, а не произвольной константой. Пример из условия помогает проверить отдельный проход алгоритма.
Ответ: 28.