5 номер. Преобразование записей чисел
Двоичная запись и сумма цифр
(Л. Шастин) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.
1. Строится двоичная запись числа N.
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
а) если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается 1, а затем два левых разряда заменяются на 11;
б) если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то в конец этой записи дописывается еще одна цифра - 0, если нулей в этой записи меньше, чем единиц, а в противном случае 1.
Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R. Например, для исходного числа 6₁₀ = 110₂ результатом является число 1101₂ = 13₁₀, а для исходного числа 4₁₀ = 100₂ результатом является число 1001₂ = 9₁₀. Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, большее 271. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Подсказка
Сначала выполните все шаги для одного N, сохраняя строку после каждого изменения. Затем уточните, что требуется выбрать: N, R или количество значений.
Решение
Искомая величина: Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R. Например, для исходного числа 6₁₀ = 110₂ результатом является число 1101₂ = 13₁₀, а для исходного числа 4₁₀ = 100₂ результатом является число 1001₂ = 9₁₀. Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, большее 271. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Разделите решение на два действия: для одного входного числа точно воспроизведите алгоритм, затем отберите результаты по условию задачи. Храните запись числа строкой; основание используемой системы счисления — 2.
В двоичной записи сумма цифр равна числу единиц: её удобно получить как s.count("1"). Остаток этой суммы по модулю 2 — бит чётности; он не равен остатку исходного числа по модулю 2. Чётность самого N определяется последним битом.
Дописывание справа реализуется как s + suffix, слева — как prefix + s. Добавляйте ровно указанную последовательность символов, включая нули. Числовое сложение вместо соединения строк здесь меняет алгоритм.
При замене разрядов сначала выделите изменяемый фрагмент исходной строки и сохраните остальную часть. Если заменяются одновременно все нули и единицы, стройте новую строку за один проход: две последовательные замены затронут уже изменённые символы.
После завершения всех преобразований получите числовой результат: R = int(s, 2). Ограничения на величину R проверяйте численно: лексикографический порядок строк не совпадает с порядком чисел.
Отбирайте ту величину, о которой спрашивается в последнем предложении: исходное число и результат алгоритма нельзя подменять друг другом. Для наименьшего входа рассматривайте допустимые N по возрастанию; для наибольшего проверяйте весь обоснованный диапазон.
Строгое «больше» означает >, а «не меньше» — >=; аналогично различайте верхние границы. Диапазон перебора определяйте из ограничений и изменения длины записи, а не произвольной константой. Пример из условия помогает проверить отдельный проход алгоритма.
Ответ: 129.