5 номер. Преобразование записей чисел
Двоичная запись и сумма цифр
Алгоритм получает на вход натуральное число N и строит по нему новое число R следующим образом:
1. Строится двоичная запись числа N.
2. Если сумма цифр десятичной записи заданного числа нечётна, то в конец двоичной записи дописывается 1, если чётна – 0.
3–4. Пункт 2 повторяется для вновь полученных чисел ещё два раза.
5. Результатом работы алгоритма становится десятичная запись полученного числа R.
Пример. Дано число N = 17. Алгоритм работает следующим образом:
1. Строим двоичную запись: 17₁₀ = 10001₂.
2. Сумма цифр числа 17 – чётная, дописываем к двоичной записи 0, получаем 100010₂ = 34₁₀.
3. Сумма цифр числа 34 – нечётная, дописываем к двоичной записи 1, получаем 1000101₂ = 69₁₀.
4. Сумма цифр числа 69 – нечётная, дописываем к двоичной записи 1, получаем 10001011₂ = 139₁₀.
5. Результат работы алгоритма R = 139.
Определите наименьшее возможное значение R > 2054, которое может получиться в результате работы алгоритма.
Подсказка
Сначала выполните все шаги для одного N, сохраняя строку после каждого изменения. Затем уточните, что требуется выбрать: N, R или количество значений.
Решение
Искомая величина: Определите наименьшее возможное значение R > 2054, которое может получиться в результате работы алгоритма.
Разделите решение на два действия: для одного входного числа точно воспроизведите алгоритм, затем отберите результаты по условию задачи. Храните запись числа строкой; основание используемой системы счисления — 2.
В двоичной записи сумма цифр равна числу единиц: её удобно получить как s.count("1"). Остаток этой суммы по модулю 2 — бит чётности; он не равен остатку исходного числа по модулю 2. Чётность самого N определяется последним битом.
Повторяемый шаг применяйте последовательно. После первого дописывания сохраните новую строку и только затем вычисляйте следующий добавляемый разряд. Использование исходной суммы на обоих шагах может дать другую запись.
После завершения всех преобразований получите числовой результат: R = int(s, 2). Ограничения на величину R проверяйте численно: лексикографический порядок строк не совпадает с порядком чисел.
Нужно минимизировать выходное R. Собирайте подходящие выходные значения и выбирайте минимум: первое подходящее N не обязательно даёт наименьший R, поскольку разные ветви алгоритма могут менять порядок результатов.
Строгое «больше» означает >, а «не меньше» — >=; аналогично различайте верхние границы. Диапазон перебора определяйте из ограничений и изменения длины записи, а не произвольной константой. Пример из условия помогает проверить отдельный проход алгоритма.
Ответ: 2057.