5 номер. Преобразование записей чисел
Преобразование двоичной записи
На вход алгоритма подаётся целое число N > 1. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.
1. Строится двоичная запись числа N.
2. Из полученной записи убирается старшая (левая) единица
3. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
а) если в полученной записи количество единиц четное, то слева дописывается 10;
б) если количество единиц нечётное, слева дописывается 1, справа 0.
Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.
Например, для исходного числа 4₁₀ = 100₂ результатом будет являться число 8₁₀ = 1000₂, а для исходного числа 6₁₀ = 110₂ результатом будет являться число 12₁₀ = 1100₂.
Укажите максимальное десятичное число R, меньшее 450, двоичная запись которого может являться результатом работы алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Подсказка
Сначала выполните все шаги для одного N, сохраняя строку после каждого изменения. Затем уточните, что требуется выбрать: N, R или количество значений.
Решение
Искомая величина: Укажите максимальное десятичное число R, меньшее 450, двоичная запись которого может являться результатом работы алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Разделите решение на два действия: для одного входного числа точно воспроизведите алгоритм, затем отберите результаты по условию задачи. Храните запись числа строкой; основание используемой системы счисления — 2.
Дописывание справа реализуется как s + suffix, слева — как prefix + s. Добавляйте ровно указанную последовательность символов, включая нули. Числовое сложение вместо соединения строк здесь меняет алгоритм.
Удаление разрядов выполняйте срезом строки со стороны, указанной в условии. После удаления числовое значение остатка записи вычисляется заново; ведущие нули не увеличивают это значение.
После завершения всех преобразований получите числовой результат: R = int(s, 2). Ограничения на величину R проверяйте численно: лексикографический порядок строк не совпадает с порядком чисел.
Нужно максимизировать выходное R. Сравните результаты всех допустимых входов: выбирать последний подходящий вход вместо наибольшего результата можно только после доказательства монотонности преобразования.
Строгое «больше» означает >, а «не меньше» — >=; аналогично различайте верхние границы. Диапазон перебора определяйте из ограничений и изменения длины записи, а не произвольной константой. Пример из условия помогает проверить отдельный проход алгоритма.
Ответ: 444.