5 номер. Преобразование записей чисел
Преобразование двоичной записи
(Л. Шастин) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.
1. Строится двоичная запись числа N.
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
а) если число N делится на 2, то в этой записи все «0» заменяются на «1»;
6) если число N на 2 не делится, то в этой записи все «1», кроме первой, заменяются на «00».
Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.
3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа 11 = 1011₂ результатом является число 100000₂ = 32.
Укажите максимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается максимальное число R, не превышающее 600.
Подсказка
Сначала выполните все шаги для одного N, сохраняя строку после каждого изменения. Затем уточните, что требуется выбрать: N, R или количество значений.
Решение
Искомая величина: Укажите максимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается максимальное число R, не превышающее 600.
Разделите решение на два действия: для одного входного числа точно воспроизведите алгоритм, затем отберите результаты по условию задачи. Храните запись числа строкой; основание используемой системы счисления — 2.
При замене разрядов сначала выделите изменяемый фрагмент исходной строки и сохраните остальную часть. Если заменяются одновременно все нули и единицы, стройте новую строку за один проход: две последовательные замены затронут уже изменённые символы.
После завершения всех преобразований получите числовой результат: R = int(s, 2). Ограничения на величину R проверяйте численно: лексикографический порядок строк не совпадает с порядком чисел.
Нужно максимизировать выходное R. Сравните результаты всех допустимых входов: выбирать последний подходящий вход вместо наибольшего результата можно только после доказательства монотонности преобразования.
Строгое «больше» означает >, а «не меньше» — >=; аналогично различайте верхние границы. Диапазон перебора определяйте из ограничений и изменения длины записи, а не произвольной константой. Пример из условия помогает проверить отдельный проход алгоритма.
Ответ: 257.