5 номер. Преобразование записей чисел
Двоичная запись и сумма цифр
Автомат обрабатывает натуральное девятиразрядное число N по следующему алгоритму:
1. Находится сумма разрядов числа N.
2. Полученное число переводится в двоичную систему счисления.
3. К записи, полученной на предыдущем этапе, дописываются разряды по следующему правилу:
a. Если количество единиц четное дописывается единица слева и два нуля справа,
b. Если количество единиц нечетное дописывается 10 слева и 1 справа.
4. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Пример. Дано число N = 123456789. Алгоритм работает следующим образом:
1. Сумма разрядов 45
2. Двоичная запись 101101.
3. Единиц четное количество, следовательно, получаем 1+101101+00
4. На экран выводится число 436.
Сколько существует чисел N таких, что в результате работы автомата будет выведено число 21?
Подсказка
Сначала выполните все шаги для одного N, сохраняя строку после каждого изменения. Затем уточните, что требуется выбрать: N, R или количество значений.
Решение
Искомая величина: Сколько существует чисел N таких, что в результате работы автомата будет выведено число 21?
Разделите решение на два действия: для одного входного числа точно воспроизведите алгоритм, затем отберите результаты по условию задачи. Храните запись числа строкой; основание используемой системы счисления — 2.
В двоичной записи сумма цифр равна числу единиц: её удобно получить как s.count("1"). Остаток этой суммы по модулю 2 — бит чётности; он не равен остатку исходного числа по модулю 2. Чётность самого N определяется последним битом.
Дописывание справа реализуется как s + suffix, слева — как prefix + s. Добавляйте ровно указанную последовательность символов, включая нули. Числовое сложение вместо соединения строк здесь меняет алгоритм.
После завершения всех преобразований получите числовой результат: R = int(s, 2). Ограничения на величину R проверяйте численно: лексикографический порядок строк не совпадает с порядком чисел.
Для подсчёта проверьте все входы из заданного диапазона. Если спрашивается количество различных результатов, используйте множество R; если количество исходных чисел — считайте подходящие N, даже когда несколько входов дают один результат.
Строгое «больше» означает >, а «не меньше» — >=; аналогично различайте верхние границы. Диапазон перебора определяйте из ограничений и изменения длины записи, а не произвольной константой. Пример из условия помогает проверить отдельный проход алгоритма.
Ответ: 9.