5 номер. Преобразование записей чисел
Двоичная запись и сумма цифр
На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.
1) Строится двоичная запись числа N.
2) К этой записи дописываются ещё несколько разрядов по следующему правилу:
а) если N чётное, то к нему справа приписывается в двоичном виде сумма цифр его двоичной записи;
б) если N нечётное, то к нему справа приписываются два нуля, а слева единица.
Например, двоичная запись числа 1101 будет преобразована в 1110100.
Полученная таким образом запись (в ней как минимум на один разряд больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.
Укажите наибольшее число N, для которого результат работы данного алгоритма меньше 1000. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.
Подсказка
Сначала выполните все шаги для одного N, сохраняя строку после каждого изменения. Затем уточните, что требуется выбрать: N, R или количество значений.
Решение
Искомая величина: Укажите наибольшее число N, для которого результат работы данного алгоритма меньше 1000. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.
Разделите решение на два действия: для одного входного числа точно воспроизведите алгоритм, затем отберите результаты по условию задачи. Храните запись числа строкой; основание используемой системы счисления — 2.
В двоичной записи сумма цифр равна числу единиц: её удобно получить как s.count("1"). Остаток этой суммы по модулю 2 — бит чётности; он не равен остатку исходного числа по модулю 2. Чётность самого N определяется последним битом.
Дописывание справа реализуется как s + suffix, слева — как prefix + s. Добавляйте ровно указанную последовательность символов, включая нули. Числовое сложение вместо соединения строк здесь меняет алгоритм.
После завершения всех преобразований получите числовой результат: R = int(s, 2). Ограничения на величину R проверяйте численно: лексикографический порядок строк не совпадает с порядком чисел.
Для подсчёта проверьте все входы из заданного диапазона. Если спрашивается количество различных результатов, используйте множество R; если количество исходных чисел — считайте подходящие N, даже когда несколько входов дают один результат.
Строгое «больше» означает >, а «не меньше» — >=; аналогично различайте верхние границы. Диапазон перебора определяйте из ограничений и изменения длины записи, а не произвольной константой. Пример из условия помогает проверить отдельный проход алгоритма.
Ответ: 256.